IDENTIDADES
Una identidad
es una igualdad matemática, entre expresiones algebraicas que es válido para
cualquier valor de las variables de la expresión.
1) Identidad de Legendre
(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2
+ b2)
Ejemplos:
Resuelve aplicando la identidad:
1) (x + 9)2 + (x - 9)2 = 2(x2 + 92)
=
2(x2 + 81)
=
2x2 + 162
2) (4x + y)2 + (4x - y)2 = 2[(4x)2 + y2 ]
= 2(16x2 + y2)
= 32x2 + 2y2)
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
Ejemplos:
Resuelve aplicando la identidad:
1) (5x + 3)2 - (5x - 3)2 = 4(5x) (3)
= 60x
2) (7x + 4y)2 - (7x – 4y)2 = 4(7x) (4y)
= 112xy
Corolario
(a + b)4 - (a - b)4 = 8ab (a2
+ b2)
Ejemplos:
Resuelve aplicando la identidad:
1) (4x + 1)4 - (4x - 1)4 = 8(4x)(1) [(4x)2 + 12]
= 32x [16x2
+ 1)]
= 512x3 + 32x
2) (2x + 3)4 - (2x - 3)4 = 8(2x)(3) [(2x)2 + 32]
= 48x (4x2 + 9)
= 192x3 + 432x
2) (x + 2y)4 - (x – 2y)4 = 8(x)(2y) [(x)2 + (2y)2]
= 16xy (x2 + 4y2)
= 16x3y + 64xy3
2) Identidad de Lagrange
(a2 + b2)(x2 + y2)
= (ax + by)2 + (ay – bx)2
Ejemplos:
Resuelve aplicando identidades:
Aplicando la identidad de Lagrange.
1) (x2 + 32)(y2 + 42) = (xy +
3×4)2 + (x×4 – 3y)2
= (xy
+ 12)2 + (4x – 3y)2
= (xy)2
+ 2(xy)(12) + (12)2 + (4x)2
- 2(4x)(3y) + (3y)2
= x2
y2 + 24xy + 144 + 16x2 - 24xy + 9y2
= x2
y2 + 16x2 + 9y2
+ 144
(x2 + x + 1) (x2 – x +1) = x4
+ x2 +1
Ejemplos:
Resuelve aplicando la identidad:
1) (x4 + x2 + 1) (x4 – x2 +1)
= x8 + x4 +1
2) (16x6 + 4x3 + 1) (16x6– 4x3
+1) = (4x3)4 + (4x3)2 +1
= 256x12 + 16x6 +1
No hay comentarios:
Publicar un comentario