sábado, 16 de noviembre de 2019

Identidades algebraicas: identidad de Legendre, identidad de Lagrange, identidad de Argand


IDENTIDADES
Una identidad es una igualdad matemática, entre expresiones algebraicas que es válido para cualquier valor de las variables de la expresión.

1) Identidad de Legendre
(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)

Ejemplos:
Resuelve aplicando la identidad:

1) (x + 9)2 + (x - 9)2 = 2(x2 + 92)
                                  = 2(x2 + 81)
                                  = 2x2 + 162

2) (4x + y)2 + (4x - y)2 = 2[(4x)2 + y2 ]
                                      = 2(16x2 + y2)
                                      = 32x2 + 2y2)

(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

Ejemplos:
Resuelve aplicando la identidad:

1) (5x + 3)2 - (5x - 3)2 = 4(5x) (3)
                                      = 60x

2) (7x + 4y)2 - (7x – 4y)2 = 4(7x) (4y)
                                          = 112xy

Corolario
(a + b)4 - (a - b)4 = 8ab (a2 + b2)

Ejemplos:
Resuelve aplicando la identidad:

1) (4x + 1)4 - (4x - 1)4 = 8(4x)(1) [(4x)2 + 12]
                                      = 32x [16x2 + 1)]
                                      = 512x3 + 32x

2) (2x + 3)4 - (2x - 3)4 = 8(2x)(3) [(2x)2 + 32]
                                      = 48x (4x2 + 9)
                                      = 192x3 + 432x

2) (x + 2y)4 - (x – 2y)4 = 8(x)(2y) [(x)2 + (2y)2]
                                      = 16xy (x2 + 4y2)
                                      = 16x3y + 64xy3

2) Identidad de Lagrange

(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay – bx)2

Ejemplos:
Resuelve aplicando identidades:

Aplicando la identidad de Lagrange.
1) (x2 + 32)(y2 + 42) = (xy + 3×4)2 + (x×4 – 3y)2
                                 = (xy + 12)2 + (4x – 3y)2

Aplicando el producto notable, binomio al cuadrado. (vídeo: https://youtu.be/8apN04Gq6lI)

                                 = (xy)2 + 2(xy)(12) + (12)2 +  (4x)2 - 2(4x)(3y) + (3y)2
                                 = x2 y2 + 24xy + 144 + 16x2 - 24xy + 9y2
                                 = x2 y2 + 16x2  + 9y2 + 144

 3) Identidad de Argand


(x2 + x + 1) (x2 – x +1) = x4 + x2 +1

Ejemplos:
Resuelve aplicando la identidad:

1) (x4 + x2 + 1) (x4 – x2 +1) = x8 + x4 +1


2) (16x6 + 4x3 + 1) (16x6– 4x3 +1) = (4x3)4 + (4x3)2 +1

                                                       = 256x12 + 16x6 +1

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